У вас должен быть прокси-сервер через который мы будем проксировать трафик до разных сайтов. Можно найти бесплатные, купить или настроить свой.
Здесь перечислены статьи по настройки своих прокси-серверов:
Настройка cloudfire warp vpn клиента как прокси-сервер в docker
Настройка wireguard vpn клиента как прокси-сервер в docker
Настройка
Расширение: GitHub - FelisCatus/SwitchyOmega: Manage and switch between multiple proxies quickly & easily.
Заполняем новый профиль данными настроенного прокси сервера:

В моем случае он развернут в docker и раздается на localhost:6543. Если в вашем прокси используется авторизация, то в блоке Server укажитеuser:password@localhost.
Далее переключите плагин в режим auth switch:

Теперь при заходе на сайт в этом режиме будет отображаться счетчик с ресурсами (доменами откуда подгружается контент для этого сайта) и при нажатии на значок плагина будет кнопка с соответствующим текстом как на картинке: “6 failed resources”. При нажатии на которую можно будет добавить эти ресурсы в список сайтов работающих через настроенный вами профиль (в моем случае это proxy):

Теперь сайт в этом браузере будет доступен только через указанный вамии прокси.
Альтернативные расширения
GitHub - zero-peak/ZeroOmega: Manage and switch between multiple proxies quickly & easily.
GitHub - rNeomy/proxy-switcher: Modify Firefox’s Proxy Settings from a Toolbar Panel